मान लीजिए f(x) = intlimits_0^x {{e^{ - {t^2}} | vedclass

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Question

(D) फलन $g(t) = e^{-t^2}$ पर विचार करें। $t \in (0, x)$ के लिए,फलन $g(t)$ निरंतर ह्रासमान है क्योंकि $t > 0$ के लिए $g'(t) = -2t e^{-t^2} < 0$ है।चूंक

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$f(x) > \frac{x}{2}\left( {1 + {e^{ - {x^2}}}} \right)$

Vedclass · Answer

(D) फलन $g(t) = e^{-t^2}$ पर विचार करें। $t \in (0, x)$ के लिए,फलन $g(t)$ निरंतर ह्रासमान है क्योंकि $t > 0$ के लिए $g'(t) = -2t e^{-t^2} चूंकि $g(t)$ अंतराल $(0, x)$ पर एक निरंतर ह्रासमान अवतल फलन है,इसलिए $0$ से $x$ तक वक्र $y = e^{-t^2}$ के नीचे का क्षेत्रफल बिंदुओं $(0, 0), (x, 0), (x, e^{-x^2}),$ और $(0, 1)$ द्वारा निर्मित समलंब (trapezoid) के क्षेत्रफल से अधिक है।इस समलंब का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} 	imes (	ext{समांतर भुजाओं का योग}) 	imes (	ext{ऊंचाई}) = \frac{1}{2} (1 + e^{-x^2}) 	imes x$ द्वारा दिया जाता है।इसलिए,$f(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt > \frac{x}{2} (1 + e^{-x^2})$.

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^x {{e^{ - {t^2}}}dt} $ सभी $x > 0$ के लिए है। तो सभी $x > 0$ के लिए:

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$\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} d x$ का मान है

$\int_0^{\pi / 4} \frac{d x}{\cos ^3(x) \cdot \sqrt{2 \sin (2 x)}}=$

समीकरण $\int_1^e \frac{(\log_e x)^{1/2}}{x(a-(\log_e x)^{3/2})^2} dx = 1$ पर विचार करें,जहाँ $a \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?

$\int_2^5 \sqrt{\frac{5-x}{x-2}} \, dx =$

यदि $\int_{\log _{e} 2}^{x} (e^{t}-1)^{-1} dt = \log _{e} \frac{3}{2}$ है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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